几何布朗运动下股票价格涨超/跌超50%概率计算步骤

1. 几何布朗运动（GBM）模型定义

假设股票价格 $\{S_t\}_{t \geq 0}$ 服从几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM），其随机微分方程（SDE）为：

$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

其中：

• $\mu$：股票的预期收益率（漂移率，drift）；
• $\sigma$：股票价格的波动率（volatility）；
• $\{W_t\}_{t \geq 0}$：标准维纳过程（布朗运动），满足 $W_t \sim N(0, t)$，且增量独立。

2. GBM的解与对数正态分布性质

通过伊藤引理（Itō's Lemma）求解上述SDE，可得任意时刻 $T$ 的股票价格 $S_T$ 与初始价格 $S_0$ 的关系：

$$S_T = S_0 \exp\left( \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T \right)$$

对两边取自然对数，令 $X = \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right)$，则：

$$X = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T$$

由于 $W_T \sim N(0, T)$，因此 $X$ 服从正态分布：

$$X \sim N\left( \underbrace{\left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}_{\text{均值 } \mu_X}, \underbrace{\sigma^2 T}_{\text{方差 } \sigma_X^2} \right)$$

相应地，$\frac{S_T}{S_0}$ 服从对数正态分布（Log-Normal Distribution）。

3. 目标概率推导

我们需要计算两个概率：

1. 未来一年后（$T=1$）股票价格**涨超50%**的概率：$P(S_T > 1.5 S_0)$；
2. 未来一年后股票价格**跌超50%**的概率：$P(S_T < 0.5 S_0)$。

3.1 涨超50%的概率：$P(S_T > 1.5 S_0)$

首先对不等式进行变形，两边除以 $S_0$ 并取自然对数：

$$S_T > 1.5 S_0 \iff \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right) > \ln(1.5)$$

即 $P(S_T > 1.5 S_0) = P\left( X > \ln(1.5) \right)$。

接下来将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z \sim N(0,1)$：

$$Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X} = \frac{X - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \sim N(0,1)$$

因此概率可表示为：

$$\begin{aligned} P\left( X > \ln(1.5) \right) &= P\left( Z > \frac{\ln(1.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \\ &= 1 - \Phi\left( \frac{\ln(1.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \end{aligned}$$

其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布的累积分布函数（CDF）。

3.2 跌超50%的概率：$P(S_T < 0.5 S_0)$

类似地，对不等式变形：

$$S_T < 0.5 S_0 \iff \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right) < \ln(0.5)$$

即 $P(S_T < 0.5 S_0) = P\left( X < \ln(0.5) \right)$。

标准化后直接利用标准正态分布CDF计算：

$$\begin{aligned} P\left( X < \ln(0.5) \right) &= P\left( Z < \frac{\ln(0.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \\ &= \Phi\left( \frac{\ln(0.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \end{aligned}$$

4. 计算步骤总结

针对 $T=1$（一年后）的场景，计算步骤可归纳为：

1. 确定参数：

   • 初始价格 $S_0$（概率计算中会约去，无需具体值）；
   • 预期收益率 $\mu$（年化）；
   • 波动率 $\sigma$（年化）；
   • 时间期限 $T=1$（年）。

2. 计算对数收益率阈值：

   • 涨超50%阈值：$\ln(1.5) \approx 0.4055$；
   • 跌超50%阈值：$\ln(0.5) \approx -0.6931$。

3. 计算正态分布的均值和标准差：

   • 均值：$\mu_X = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) \times T$；
   • 标准差：$\sigma_X = \sigma \times \sqrt{T}$。

4. 标准化并计算概率：

   • 涨超50%概率：$1 - \Phi\left( \frac{\ln(1.5) - \mu_X}{\sigma_X} \right)$；
   • 跌超50%概率：$\Phi\left( \frac{\ln(0.5) - \mu_X}{\sigma_X} \right)$。

5. 通过标准正态分布表/统计软件（如Python scipy.stats.norm.cdf）获取 $\Phi(\cdot)$ 的值。

5. 数值计算

假设某股票的参数为：

• 预期年化收益率 $\mu = 10\% = 0.1$；
• 年化波动率 $\sigma = 30\% = 0.3$；
• 时间期限 $T = 1$ 年。

计算过程

1. 对数阈值： $\ln(1.5) \approx 0.4055$，$\ln(0.5) \approx -0.6931$。

2. 正态分布参数： 均值 $\mu_X = \left( 0.1 - \frac{0.3^2}{2} \right) \times 1 = 0.1 - 0.045 = 0.055$； 标准差 $\sigma_X = 0.3 \times \sqrt{1} = 0.3$。

3. 标准化与概率计算：

   • 涨超50%的Z-score：$z_{\text{up}} = \frac{0.4055 - 0.055}{0.3} \approx \frac{0.3505}{0.3} \approx 1.168$； 概率：$1 - \Phi(1.168) \approx 1 - 0.878 = 0.122$（即12.2%）。

   • 跌超50%的Z-score：$z_{\text{down}} = \frac{-0.6931 - 0.055}{0.3} \approx \frac{-0.7481}{0.3} \approx -2.494$； 概率：$\Phi(-2.494) \approx 0.0063$（即0.63%）。

结果说明

在该参数假设下，股票一年后涨超50%的概率约为12.2%，跌超50%的概率约为0.63%。